Tema 4# Leyes y identidades del Álgebra Boole

        El álgebra de Boole son las matemáticas de los sistemas digitales, esta siguen una serie de leyes y reglas, ademas de dos teoremas para poder realizar sus operaciones.

Leyes conmutativas

• Ley conmutativa de la suma:  

        Esta ley nos dice que:

        Establece que no importa el orden en que se apliquen las variables de la operación OR, ya que la suma representa dicha operación.

      Esta nos dice que si a la entrada tenemos las variables A y B en la salida tendremos A+B, eso equivaldría a que si esta al contrario, es decir, si al entrar tenemos B y A en la salida tendremos B+A, lo que nos quiere decir que tanto A+B como B+A representan la misma operación y esta no se vera alterada, por lo que es lo mismo colocar uno como el otro.

• Ley conmutativa de la multiplicación:

        Esta ley nos dice:

        

        Con esto establece que el orden de las variables en las que se aplique la operación de multiplicación o operación AND, no es importante.

        Esta nos dice que si en la entrada tenemos las variables A y B en la salida tendremos A*B, que esto es equivalente a el caso contrario, es decir, si tenemos en la entrada las variables B y A en la salida resultara B*A, por lo que una es equivalente a la otra y no poseerá ninguna alteración la operación.

Leyes asociativas

• Ley asociativa de la suma:

        Esta ley nos dice:

 

        Básicamente nos dice que A mas la agrupación de B+C es exactamente igual a agrupar las variables A+B sumándole C, lo que nos da a entender que es equivalente sumar de una forma a la otra, no importa como asocies los términos en la suma da lo mismo.

        Esta ley establece que la operación OR o la suma a mas de dos variables el resultado es el mismo independientemente en la forma en la que se agrupen los términos.

      En esta representación observamos dos compuertas OR, en la primera esta en la entrada B y C en la salida de estas tenemos B+C este resultado se introduce a la otra compuerta OR junto a la variable A como datos de entra por lo que de salida tendremos A+(B+C), por lo que todo esto es igual o equivalente a realizar las mismas acciones con A+B y C para que nos de en la salida (A+B)+C, con esta ley se demuestra que ambas operaciones son lo mismo.

• Ley asociativa de la multiplicación:

          Esta ley nos dice:

          Nos dice que A por la agrupación de B*C que se multiplica ya de por si entre si misma sera igual a multiplicar primero A*B para luego hacer lo mismo con C, no hay ninguna diferencia entre ambos procedimientos.

        Esta ley establece que la operación AND o la multiplicación se hace a mas de dos variables el resultado es el mismo, independientemente en la forma en la que se agrupen los elementos.

        En esta representación observamos dos compuertas AND, en la primera esta en la entrada B y C en la salida de estas tenemos B*C este resultado se introduce a la otra compuerta AND junto a la variable A como datos de entra por lo que de salida tendremos A*(B*C), por lo que todo esto es igual o equivalente a realizar las mismas acciones con A*B y C para que nos de en la salida (A*B)*C, con esta ley se demuestra que ambas operaciones son lo mismo.(Recordar que en las representaciones las letras unidas son multiplicación no es necesario colocar el símbolo).

Ley distributiva

        Esta ley nos dice:

            Nos dice que A multiplicado por la suma de B+C va a ser igual a suma de A*B y A*C, ya que hay que recordar que el elemento que esta fuera de la agrupación se multiplica por cada uno de los términos que estén dentro del paréntesis.

           Esta ley establece que al aplicar la operación OR o suma a dos o mas variables luego aplicar la operación AND o multiplicación al resultado, es lo mismo o es equivalente a aplicar únicamente la operación AND a cada uno de los sumandos, es muy importante recalcar esto ya que como se esta hablando de sistemas digitales mientras menos puertas lógicas se requieran sera mas eficiente.

            Aquí tomaremos en cuenta que ambos circuitos son equivalentes, analizando el primero se requerirá una puerta OR y una AND, ya que B y C se generaran una salida B+C que se introducirá como dato de entrada en la multiplicación al igual que A que sera quien multiplique este elemento resultante de la puerta anterior, lo que sera equivalente a el lado de la igualdad, es decir, que tenemos una suma de dos multiplicaciones por lo que se requerirán tres puertas lógicas donde tanto A y B como A y C son datos de entrada que proporcionaran una salida A*B y A*C respectivamente que servirán como datos de entrada en la puerta OR donde se sumaran. Aquí pudimos observa que aunque saldrán con el mismo resultado lo  mas conveniente es usar la que requiera menores puertas lógicas para seguir correctamente el álgebra de Boole.

Identidades Útiles

Tema 3# NOT, AND y OR

Leyes Fundamentales

Puertas lógicas

            Una puerta lógica, o compuerta lógica, es un dispositivo electrónico con una función booleana u otras funciones como sumar o restar, incluyen o excluyen según sus propiedades lógicas. 

NOT (Inversor lógico):  

            La puerta lógica NOT realiza la función booleana de inversión o negación de una variable lógica. Una variable lógica (A) a la cual se le aplica la negación se pronuncia como "no A" o "A negada".

            Su tabla de verdad es la siguiente: 

            Donde en este sistema la única salida posible es el inverso del valor es decir, si es 1 la entrada su salida sera 0 y viceversa.

            Su simbología es la siguiente:

            En todo caso la entrada es por la izquierda, la primera tiene forma de rectángulo y es mas usada a procedimientos donde se relacione a la polaridad y el triangulo es la representación mas común, el pequeño circulo es la negación.

AND (Multiplicación lógica):  

        La puerta lógica AND realiza la función booleana de producto lógico. Así, el producto lógico de las variables A y B se indica como AB, y se lee A y B o simplemente A por B.

          Su tabla de a verdad es la siguiente:

      Esta tabla es sencilla de comprender ya que como la misma puerta lo dice es un multiplicador lógico, luego de que se buscan todas las probabilidades únicamente hay que realizar el procedimiento de multiplicación para que nos de lo que esta en la tabla. Observamos que todo numero que se multiplico por 0 da 0, y el único que dio uno fue 1 x 1 que algebraicamente es el resultado correcto. Podemos definir la puerta AND como aquella que proporciona a su salida un 0 lógico si al menos una de sus entradas está a 0.

           Su simbología es la siguiente:

       En este caso puede tener dos entradas o mas pero siempre sera una salida, por la izquierda están las entradas seguido de una figura que es una especie de mezcla entre cuadrado y circulo para finalizar en la salida que es por la derecha que sera el producto lógico de la operación.

OR (Suma lógica):

         La puerta lógica OR , realiza la operación de suma lógica. Puede poseer dos entradas o mas y es una puerta básica que es la base de todas las funciones.

          Su tabla de la verdad es la siguiente:

        Donde se le llama suma lógica porque es lo que se implementa, podemos decir que 0 + 0 es 0, 0 + 1 es 1, 1 + 0 es 1 y 1 + 1 diríamos por una operación que seria dos pero por las reglas del álgebra de Boole el resultado es 1. Podemos definir la puerta OR como aquella que proporciona a su salida un 1 lógico si al menos una de sus entradas está a 1.

        Su simbología es la siguiente:

        Pueden existir de dos o mas entradas que se introducen por la izquierda, se puede visualizar un triangulo de puntas alargadas y del lado derecho estará la salida que por supuesto es la suma lógica.

Tema 2# Historia del Álgebra Boole

        A mediados del siglo XIX, George Boole, en sus libros: "The Mathematical Analysis of Logic" (1847) y "An Investigation of te Laws of Thought" (1854), desarrolló la idea de que las proposiciones lógicas podían ser tratadas mediante herramientas matemáticas. Las proposiciones lógicas (asertos, frases o predicados de la lógica clásica) son aquellas que únicamente pueden tomar valores Verdadero/Falso, o preguntas cuyas únicas respuestas posibles sean Sí/No.

        Según Boole, estas proposiciones pueden ser representadas mediante símbolos y la teoría que permite trabajar con estos símbolos, sus entradas (variables) y sus salidas (respuestas) es la Lógica Simbólica desarrollada por él. Dicha lógica simbólica cuenta con operaciones lógicas que siguen el comportamiento de reglas algebraicas. Por ello, al conjunto de reglas de la Lógica Simbólica se le denomina ÁLGEBRA DE BOOLE.

        A fines del siglo XIX, los científicos Jevons, Schroder y Huntington utilizaron este concepto para términos modernizados. Y en el año de 1936, MHStone demostró que el álgebra de Boole es 'isomorfo' para los conjuntos (un área funcional en matemáticas).

        A mediados del siglo XX el álgebra Booleana resultó de una gran importancia práctica, importancia que se ha ido incrementando hasta nuestros días, en el manejo de información digital (por eso hablamos de Lógica Digital). Gracias a ella, Shannon (1930) pudo formular su teoría de la codificación y John Von Neumann pudo enunciar el modelo de arquitectura que define la estructura interna de los ordenadores desde la primera generación.

        La síntesis lógica de las herramientas modernas de automatización electrónica se representa de manera eficiente mediante el uso de funciones booleanas conocidas como "Diagramas de decisión binarios".

        Todas las variables y constantes del Álgebra booleana, admiten sólo uno de dos valores en sus entradas y salidas: Sí/No, 0/1 o Verdadero/Falso. Estos valores bivalentes y opuestos pueden ser representados por números binarios de un dígito (bits), por lo cual el Álgebra booleana se puede entender cómo el Álgebra del Sistema Binario. Al igual que en álgebra tradicional, también se trabaja con letras del alfabeto para denominar variables y formar ecuaciones para obtener el resultado de ciertas operaciones mediante una ecuación o expresión booleana. Evidentemente los resultados de las correspondientes operaciones también serán binarios.

Tema 1# ¿Qué es el Álgebra Boole?

        El álgebra de Boole, también llamada álgebra booleana, en electrónica digital, informática y matemática es una estructura algebraica que esquematizada las operaciones lógicas. Fue inventada en el año 1854 por el matemático inglés George Boole.

  

                                                                          

        El álgebra de booleana es un método para simplificar los circuitos lógicos en electrónica digital. Es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno, como True y False, donde 1 representa el estado "Verdadero" y 0 representa el estado "Falso".

        Puede decirse que el álgebra booleana apela a nociones algebraicas para el tratamiento de enunciados de la lógica proposicional. Las operaciones más habituales son las binarias, que requieren de dos argumentos. Se llama conjunción lógica al resultado verdadero que se obtiene cuando los dos enunciados son verdaderos: si A es verdadero y B es verdadero, la conjunción de A y B será verdadera.

        Es muy importante recordar que el álgebra de Boole es muy distinta al álgebra a la matemática regular y sus métodos. Para poder proseguir con nuestro aprendizaje sobre el álgebra booleana debemos entender un poco como se origino, su invención y desarrollo.