Tema 4# Leyes y identidades del Álgebra Boole

        El álgebra de Boole son las matemáticas de los sistemas digitales, esta siguen una serie de leyes y reglas, ademas de dos teoremas para poder realizar sus operaciones.

Leyes conmutativas

• Ley conmutativa de la suma:  

        Esta ley nos dice que:

        Establece que no importa el orden en que se apliquen las variables de la operación OR, ya que la suma representa dicha operación.

      Esta nos dice que si a la entrada tenemos las variables A y B en la salida tendremos A+B, eso equivaldría a que si esta al contrario, es decir, si al entrar tenemos B y A en la salida tendremos B+A, lo que nos quiere decir que tanto A+B como B+A representan la misma operación y esta no se vera alterada, por lo que es lo mismo colocar uno como el otro.

• Ley conmutativa de la multiplicación:

        Esta ley nos dice:

        

        Con esto establece que el orden de las variables en las que se aplique la operación de multiplicación o operación AND, no es importante.

        Esta nos dice que si en la entrada tenemos las variables A y B en la salida tendremos A*B, que esto es equivalente a el caso contrario, es decir, si tenemos en la entrada las variables B y A en la salida resultara B*A, por lo que una es equivalente a la otra y no poseerá ninguna alteración la operación.

Leyes asociativas

• Ley asociativa de la suma:

        Esta ley nos dice:

 

        Básicamente nos dice que A mas la agrupación de B+C es exactamente igual a agrupar las variables A+B sumándole C, lo que nos da a entender que es equivalente sumar de una forma a la otra, no importa como asocies los términos en la suma da lo mismo.

        Esta ley establece que la operación OR o la suma a mas de dos variables el resultado es el mismo independientemente en la forma en la que se agrupen los términos.

      En esta representación observamos dos compuertas OR, en la primera esta en la entrada B y C en la salida de estas tenemos B+C este resultado se introduce a la otra compuerta OR junto a la variable A como datos de entra por lo que de salida tendremos A+(B+C), por lo que todo esto es igual o equivalente a realizar las mismas acciones con A+B y C para que nos de en la salida (A+B)+C, con esta ley se demuestra que ambas operaciones son lo mismo.

• Ley asociativa de la multiplicación:

          Esta ley nos dice:

          Nos dice que A por la agrupación de B*C que se multiplica ya de por si entre si misma sera igual a multiplicar primero A*B para luego hacer lo mismo con C, no hay ninguna diferencia entre ambos procedimientos.

        Esta ley establece que la operación AND o la multiplicación se hace a mas de dos variables el resultado es el mismo, independientemente en la forma en la que se agrupen los elementos.

        En esta representación observamos dos compuertas AND, en la primera esta en la entrada B y C en la salida de estas tenemos B*C este resultado se introduce a la otra compuerta AND junto a la variable A como datos de entra por lo que de salida tendremos A*(B*C), por lo que todo esto es igual o equivalente a realizar las mismas acciones con A*B y C para que nos de en la salida (A*B)*C, con esta ley se demuestra que ambas operaciones son lo mismo.(Recordar que en las representaciones las letras unidas son multiplicación no es necesario colocar el símbolo).

Ley distributiva

        Esta ley nos dice:

            Nos dice que A multiplicado por la suma de B+C va a ser igual a suma de A*B y A*C, ya que hay que recordar que el elemento que esta fuera de la agrupación se multiplica por cada uno de los términos que estén dentro del paréntesis.

           Esta ley establece que al aplicar la operación OR o suma a dos o mas variables luego aplicar la operación AND o multiplicación al resultado, es lo mismo o es equivalente a aplicar únicamente la operación AND a cada uno de los sumandos, es muy importante recalcar esto ya que como se esta hablando de sistemas digitales mientras menos puertas lógicas se requieran sera mas eficiente.

            Aquí tomaremos en cuenta que ambos circuitos son equivalentes, analizando el primero se requerirá una puerta OR y una AND, ya que B y C se generaran una salida B+C que se introducirá como dato de entrada en la multiplicación al igual que A que sera quien multiplique este elemento resultante de la puerta anterior, lo que sera equivalente a el lado de la igualdad, es decir, que tenemos una suma de dos multiplicaciones por lo que se requerirán tres puertas lógicas donde tanto A y B como A y C son datos de entrada que proporcionaran una salida A*B y A*C respectivamente que servirán como datos de entrada en la puerta OR donde se sumaran. Aquí pudimos observa que aunque saldrán con el mismo resultado lo  mas conveniente es usar la que requiera menores puertas lógicas para seguir correctamente el álgebra de Boole.

Identidades Útiles