Postulados
Un álgebra de Boole es toda clase o conjunto de elementos que pueden tomar dos valores perfectamente diferenciados, que designaremos por 0 y 1 y que están relacionados por dos operaciones binarias denominadas suma (+) y producto (.) (la operación producto se indica en general simplemente mediante la ausencia de símbolo entre dos variables) lógicos que cumplen los siguientes postulados:
a) Ambas operaciones son conmutativas, es decir, si a y b son elementos del álgebra, se verifica:
a + b = b + a a . b = b . a
b) Dentro del álgebra existen dos elementos neutros, el 0 y el 1, que cumplen la propiedad de identidad con respecto a cada una de dichas operaciones:
0 + a = a 1 . a = a
c) Cada operación es distributiva con respecto a la otra:
a . (b + c) = a . b + a . c a + (b . c) = (a + b) . (a + c)
d) Para cada elemento, a, del álgebra existe un elemento denominado, ā , tal que:
a + ā = 1 a . ā = 0
Este postulado define realmente una nueva operación fundamental que es la inversión o complementación de una variable. La variable ā se encuentra siempre en un estado binario contrario al de a.
La primera ecuación expresa la imposibilidad de que a y ā tomen el valor lógico cero al mismo tiempo y la segunda ecuación indica que nunca pueden tener el valor lógico uno al mismo tiempo.
De lo explicado anteriormente se deduce que el álgebra de Boole es un ente matemático. En realidad, son físicamente varios los conjuntos que poseen dos operaciones binarias que cumplen los postulados desarrollados. Ejemplos de estos conjuntos son el álgebra de las proposiciones formales y el álgebra de la conmutación formad también por elementos que pueden tomar dos estados perfectamente diferenciados.
Los primeros circuitos de conmutación o lógicos utilizados han sido los contactos, y aunque poco a poco han sido desplazados por los circuitos electrónicos, pueden ser empleados para memorizar más fácilmente las leyes del álgebra de Boole antes expresadas y los teoremas que desarrollaremos seguidamente.
La operación suma se asimila a la conexión en paralelo de contactos y la operación producto a la conexión en serie. El inverso de un contacto es otro cuyo estado es siempre opuesto del primero, es decir está cerrado cuando aquel está abierto y viceversa. El elemento 0 es un contacto que está siempre abierto y el elemento 1 un contacto que está siempre cerrado. Además se considera una función de transmisión entre los dos terminales de un circuito de contactos, que toma el valor 1, cuando existe un camino para la circulación de corriente entre ellos (cortocircuito) y el valor 0 al no existir dicho camino (Circuito abierto).
Teoremas
Basándose en los postulados anteriores se deducen los teoremas que expondremos seguidamente. Su demostración se puede realizar algebraicamente mediante la llamada tabla de verdad. La tabla de verdad de una expresión algebraica binaria representa los valores que dicha expresión puede tomar para cada combinación, de estados de las variables que forman parte de la misma. Dos expresiones algebraicas que tienen la misma tabla de verdad son equivalentes.
Teorema 1:
Cada identidad deducida de los anteriores postulados del álgebra de Boole permanece válida si la operación + y . y los elementos 0 y 1 se intercambian entre si.
Este principio, llamado de dualidad, se deduce inmediatamente de la simetría de los cuatro postulados con respecto a ambas operaciones y ambos elementos neutros.
Teorema 2:
Para cada elemento a de un álgebra de Boole se verifica:
a + 1 = 1 a . 0 = 0
Teorema 3:
Para cada elemento a de un álgebra de Boole se verifica:
a + a = a a . a = a
Teorema 4:
Para cada par de elementos de un álgebra de Boole a y b, se verifica:
a +ab = a a . (a + b) = a
Esta ley se llama de absorción.
Teorema 5:
En álgebra de Boole, las operaciones suma y producto son asociativas:
a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c
a . (b . c) = ( a . b) . c = a . b . c
Teorema 6:
Para todo elemento ā de un álgebra de Boole se verifica:
ā = a
Estas igualdades se llaman leyes de De Morgan
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